Tananyag és problémamegoldás
2016. július 08. írta: Békési Kálmán oktatási blogja

Tananyag és problémamegoldás

Amikor egy probléma megoldása egyszerűbb, ha elfelejtjük, amit tanultunk.

measure_wwood_co.jpg

Photo: Flickr Creative Commons

Matematika óra, számtani sorozatok.

Egy biciklista 100 km-re van otthonról. Az első nap teker 8 km-t, majd minden nap 6 km-rel többet, mint az előző napon. Hány nap alatt ér haza? Hány km-t teker az utolsó napon, azon a napon, amikor hazaér?

Ezt a példát legalább kétféle módon lehet megoldani. Az első megoldás a tananyag „elfelejtésével” történik. Írunk egy listát: 8 km, 14 km, 20 km, 26 km, 32 km. S hamar rájövünk, hogy eddigre a biciklista hazaért. Tehát az utolsó napon 32 km-t tekert.

A másik megoldás, hogy alkalmazunk két képletet: Sn=1/2n(2a+(n-1)d) és an=a+(n-1)d. Behelyettesítünk az első képletbe, majd az utolsó tagot kiszámoljuk a másodikkal.

A különbség a két megoldás között a feleannyi idő és a kevesebb hibalehetőség – az első számolási módszer javára.

Mikor készít fel egy matektanár jobban az életre: ha engedi az egyszerűbb, kézenfekvő megoldást, vagy ha ragaszkodik ahhoz, hogy a tanulók a már ismert, magasabb szintű matematikai módszert alkalmazzák?

Egy Londonban élő francia nő, aki a 70-es évek táján járt iskolába, értetlenül állt az eset előtt. Tom, a londoni tanárképző tanára ugyanis teljes értékű, teljes pontszámot érő válasznak fogadta el, ha a gyerekek nem használják a számtani sorozatok képletét, csupán kiszámolják, hogy 8, 14, 20, 26, 32.

Tom, a fiatal matematikus az idősebb kolléga értetlenkedését nem értette.

- Amennyiben egyszerűbben is meg lehet oldani a problémát, oldják meg úgy. Ez minden matematikus álma – mondta. - Nagyobb számok esetén, ha pl. a távolság 4000 km lenne, úgysem tudják számolgatással megoldani, muszáj lesz a képletet használniuk. A lényeg a problémamegoldás képessége.

Két filozófia és két generáció áll az eltérő megközelítések mögött.

Az egyik a tartalomra és az elérhető legmagasabb szintű tudásra koncentrál. Csináld úgy, ahogyan már tanultad, akkor is, ha az adott feladat megoldása más módon is, magasabb szintű matematika alkalmazása nélkül is lehetséges lenne.

A másik: probléma-központú. Oldd meg a problémát. Oldd meg a lehető legegyszerűbben és leggyorsabban. Ha a probléma megengedi: oldd meg magasabb szintű, bonyolult képleteket használó matematika nélkül. Ha a probléma túl összetett, akkor használj magasabb szintű matematikát.

A két megközelítés között nem földrajzi a különbség, hanem időbeli. A francia kolléga a 40 évvel ezelőtti oktatási kultúrában nőtt föl. Az IEA mérések idején, melyekben Magyarország a világ élvonalában volt. Azok a mérések arra fókuszáltak, hogy az iskolák milyen eredményességgel tanítják meg a nemzeti tananyagot. A mai gyerekek a PISA mérések idején élnek. Ezek a mérések arra fókuszálnak, hogy a gyerekek milyen hatékonysággal oldanak meg problémákat.

Hol találjuk vajon e kettő: az egyszerű problémamegoldás és a strukturált akadémiai tudás közötti optimumot?

Melyik megközelítéssel adunk lehetőséget arra, hogy az iskola életszerű tudást biztosítson?

Melyik megközelítéssel adunk lehetőséget a leszakadóknak a felzárkózásra, a középső két harmadnak a kielégítő haladásra és a tehetségeseknek a fejlődésre – egy időben?

A bejegyzés trackback címe:

https://bekesikalman.blog.hu/api/trackback/id/tr558874284

Kommentek:

A hozzászólások a vonatkozó jogszabályok  értelmében felhasználói tartalomnak minősülnek, értük a szolgáltatás technikai  üzemeltetője semmilyen felelősséget nem vállal, azokat nem ellenőrzi. Kifogás esetén forduljon a blog szerkesztőjéhez. Részletek a  Felhasználási feltételekben és az adatvédelmi tájékoztatóban.

ppppalika 2016.07.08. 08:22:09

"Egy biciklista 100 km-re van otthonról. Az első nap teker 8 km-t, majd minden nap 6 km-rel többet, mint az első napon."

Hibás a leírás. Az utolsó előtti szó helyesen: _előző_.

nemecsekerno_007 2016.07.08. 16:56:14

A jelenlegi oktatást beszántani és sóval behinteni. Aztán kialakítani egy teljesen újat, az alapoktól. Ahol a legalapvetőbb - írni, olvasni, számolni - készségeket nem tudják elsajátítani a diákok, ott nem az a lényeg, hogy mennyi a tanóra, mennyire függetlenek az iskolák v. milyen könyvből tanulnak.

körtéri 2016.07.08. 18:36:54

@nemecsekerno_007: Hát ez hülyeség.
Nem is kicsi!
A cikk amúgy jó, de minden tanár ezt csinálja!

Tisztességes Természettudomány 2016.07.08. 20:01:20

Nem a legokosabbak keresik a legtöbb pénzt, és nem a legmélyebb tudásúak a legjobb problémamegoldók.

Aki ezt megérti, annak már felesleges iskolába járatni a gyerekeit, mert tudni fogja, hogy otthonoktatásban mit és hogyan tanítson meg nekik.

pushup 2016.07.08. 20:03:17

hmmm ... az első megoldást egy másodikos is megcsinálja, ahol még messze nem tanulnak számtani sorozatokat.
kérdés, hogy ha a számtani sorozatokat tanítjuk a gyerekeknek, elegendő-e egy másodikos szintű megoldást, egy rövidebb utat elfogadni? vagy oldja meg a feladat kiírója és írjon bele 4000km-t?
mert le is lehet sétálni a 4×100-as váltót ... úgy is beérnek a célba ... csak nem lesz jobb a csapat, mint azok, akik futva csinálják. persze, ha az idő nem számít ...

keletita 2016.07.08. 21:46:50

@pushup: Ha a futós hasonlatot nézzük, akkor szó sincs arról, hogy a másodikos szintű megoldás séta lenne. Inkább arról van szó, hogy az, aki a "magas szintű" képlettel oldja meg az 100 méter futás helyett először elmegy a kerékpártárolóba vagy a garázsba, előhozza a járgányát, aztán nagyon büszke, hogy ügyesen meg tudott tenni a járművel 100 métert, és csodálkozik, hogy aki futva ment, hamarabb ér oda. A képletek arra vannak, hogy segítsenek, könnyebben és/vagy gyorsabban tudjunk valamit kiszámolni, nem azért, hogy nehezebben és lassabban. Nagyobb adatoknál már célravezetőbb a képlet, mint ahogy nagyobb távolságra utazva megéri elővennű a járművünket.

$pi$ 2016.07.08. 22:00:15

@keletita: "Nagyobb adatoknál már célravezetőbb a képlet"

Mindkét megoldás képletet használt, csak nem ugyanazt. A cikk az egyik megoldáshoz leírta a képletet, a másikhoz meg nem.

"Mikor készít fel egy matektanár jobban az életre: ha engedi az egyszerűbb, kézenfekvő megoldást, vagy ha ragaszkodik ahhoz, hogy a tanulók a már ismert, magasabb szintű matematikai módszert alkalmazzák?"

Akkor, ha a tanár nem rontja el a feladatot. Ha egy bizonyos matematikai ismeret meglétét akarja ellenőrizni, ha azt akarja gyakorolni, akkor nem árt, ha az adott matematikai ismeret szükséges a megoldáshoz. Ha nem szükséges, akkor az annyit jelent, hogy maga a tanár sem érti mire való az adott tudás.

HaCS 2016.07.08. 22:00:53

Véleményem szerint matematika órán matematikát szokás oktatni. A "józan paraszti ész" nevű tantárgyat egy másik alkalommal, általánosságban délutántól estéig, ill. hétvégente illenék oktatnia egy másik társaságnak.
A matematika (és minden más tantárgy) oktatási rendjébe az általánosan minden esetben használható univerzális képletek férnek bele. Azok, melyekkel bárki, bármilyen esetben meg tudja oldani bármely a témához tartozó feladatot. Ki lehetne térni minden témánál egyesével a kivételekre, amikor így gyorsabb, meg úgy egyszerűbb, csak a tapasztalat azt mutatja, hogy minden kivétel számbavételére egy élet sem elég. A számonkérésnél az oktatót nem az érdekli, hogy Pistike az adott feladatot meg tudta-e oldani, az a feladatnak csak egy része (részpontszám), hanem, hogy BÁRMELY hasonló feladatot meg tudja-e oldani (maximális pontszám). Lehet egyből 4000-ig számoltatni a gyerekeket, csak akkor senki nem kap közepest, hanem csak kiválóak és elégtelenek lesznek. Ha ez eddig nem lett volna világos, akkor ezt a gyereknek és a felnőttnek is világossá kell tenni.

Elég nagy baj az szerintem, ha egy szülő az élettapasztalat átadását, az életre nevelést az iskolától várja.

$pi$ 2016.07.08. 22:02:58

@Tisztességes Természettudomány: "Aki ezt megérti, annak már felesleges iskolába járatni a gyerekeit, mert tudni fogja, hogy otthonoktatásban mit és hogyan tanítson meg nekik. "

Aztán a gyereke is tanítja az ő gyerekét, az meg az övét. Így aztán pár generáción belül eljutunk a pattintott kőkorszakig. :D

keletita 2016.07.08. 22:21:42

@HaCS: Pedig az a nagy helyzet, hogy a matematika alapvetően a józan paraszti ész kifinomultabb használata. Ha jól tanítják, akkor az a fő üzenete a matematikának, hogy használd az eszedet. A képletekből úgysem sok marad meg. Igazából már az is elég, ha valakiben az marad meg, hogy bizonyos jellegű dolgokra van képlet, és azokat egy kis töprengéssel gyakran ki is lehet találni. Vagy akár az, hogy gondolkodni jó.

"A matematika (és minden más tantárgy) oktatási rendjébe az általánosan minden esetben használható univerzális képletek férnek bele. Azok, melyekkel bárki, bármilyen esetben meg tudja oldani bármely a témához tartozó feladatot."

Az a baj, hogy csak az iskolai matematika működik témák szerint. A kicsit is valódibb matematikai problémákra nincsen ráírva nagy betűkkel, hogy melyik témához tartoznak. Ezért sajnálatos módon a gondolkodás, és a józan paraszti ész elkerülhetetlen. És ha valaki egyszer megtanulta a matematikai gondolkodásmódot, akkor ki fogja tudni találni a képletet, akkor is, ha nem tanulta, vagy elfelejtette. Ha pedig csak a képlet mechanikus használatát tanulta meg valaki, akkor azt úgyis elfelejti, de ha valami csoda folytán mégsem, a legtöbb esetben akkor sincs sok esélye észrevenni, hogy használni lehetne.

bloglegelő 2016.07.08. 23:24:16

@keletita: pedig az a nagy helyzet, ha valaki világosan kifejezi a lényeget, akkor mindig van, aki körbetököli, mert AZT MINDIG LEHET.

ahogy te most bemutattad.

Ha te - meg a kurvanagy okospedagógia (=korunk kudarcos, de annál önteltebb homokozója) - nem képes a "csak iskolai matematika" anyagát használva a józan ész használatára szoktatni-nevelni a tanulót, akkor talán nézzen a tükörbe - ha van becsülete és önbecsülése hozzá.

"És ha valaki egyszer megtanulta a matematikai gondolkodásmódot, akkor ki fogja tudni találni a képletet, akkor is, ha nem tanulta, vagy elfelejtette."

ezt a faszságot meg ha lehet, ne terjesszed.

keletita 2016.07.08. 23:29:11

@bloglegelő: Pedig terjesztem, mert saját tapasztalat.

Békési Kálmán oktatási blogja · http://bekesikalman.blog.hu 2016.07.08. 23:33:50

@bloglegelő: Megkérem, hogy az agresszivitást és durva szavak használatát mellőzze. Köszönettel: Békési Kálmán

úgyiselfelejtem 2016.07.09. 00:01:45

@keletita: ne terjeszd, mert az egyéni tapasztalatok hamis következtetésre juttat. Valószínűleg a bevásárlásnál bonyolultabb dolgokra nem használod a matematikát. Persze ott is segít a becslés, ha valaki megtanulta, de manapság mindenki zsebében van egy számológép, ki lehet kerülni.
Nap mint nap találkozok olyan emberekkel, akik minden számítás helyett inkább próbálkoznak. Én hiába számolom ki, az hülyeség, a mérőszalag mond igazat. Vagy túl drága lenne az anyag, annyit ne rakjunk bele.

A tananyagban, az alapszintek elsajátításához, begyakorlásához ilyen primitív feladatok kellenek. 4000km-nél a diákok kiakadnának, hogy minek megy valaki bringával ilyen távra. Persze sokszor az sem zavarja őket, ha az jön ki, hogy egy bringás 350km/órával megy...

keletita 2016.07.09. 00:19:31

@úgyiselfelejtem: "Valószínűleg a bevásárlásnál bonyolultabb dolgokra nem használod a matematikát."

Talán azért mégis. Például matematikusként abból élek.

Azt hiszem, nem pont ugyanarról beszélünk. Ha valaki számítás helyett hülyeségeket beszél, vagy az ösztöneire, esetleg a pénztárcájára hallgat, azt én egyáltalán nem hívom józan paraszti észnek. (A cikkben említett feladatban az első megoldás helyes lépésekkel, helyes választ adott, a legkevésbé sem volt hülyeség, csak nem használt ágyút a verébhez.)

bloglegelő 2016.07.09. 09:45:12

@Békési Kálmán oktatási blogja: leszarom. Nem én kértem, hogy a képembe tolják az írását egy portál címlapján.

2016.07.09. 10:43:37

Ez a feladat
- órán a frissen tanult eszköz gyakorlati alkalmazását demomstrálja,
- háziként a gyakorlására ad lehetőséget,
- számonkéréskor viszont az a fair, ha mindem olyan módszer elfogadott, ami a helyes eredményre vezet.

Értelmes tanárokkal ez mindig így volt, a miénk 30 éve is elfogadta az alternatív megoldásokat, amennyiben a bizonyítás nem maradt el. Gimiben és egyetemen meg (szerintem) mindenhol, mindig így volt, persze sötét gazember kivételek biztosan akadtak.

$pi$ 2016.07.09. 10:48:53

@úgyiselfelejtem: "4000km-nél a diákok kiakadnának, hogy minek megy valaki bringával ilyen távra. Persze sokszor az sem zavarja őket, ha az jön ki, hogy egy bringás 350km/órával megy.."

Jah, milyen kár, hogy csak bringás példákat szabad az iskolába feladni. Milyen nagyszerű lenne, ha azt lehetne mondani, hogy "óttó" és abból már tudnának értelmes feladatot készíteni.

Vagy mondjuk kihagyni az egész biciklis marhaságot és feladni egy matematikai problémát matematika órán. Tudod, amibe nincsenek biciklik meg kilométerek meg ilyenek, hanem számok vannak.

$pi$ 2016.07.09. 10:52:46

@keletita: "És ha valaki egyszer megtanulta a matematikai gondolkodásmódot, akkor ki fogja tudni találni a képletet, akkor is, ha nem tanulta, vagy elfelejtette. "

Na, ezen berosáltam. A matematika kutatásának több ezer évéről jelentetted ki, hogy felesleges volt, hiszen csak annyit kellett volna mondani az elején, hogy mindenki találja ki a képletet amikor szüksége van rá.

Szerintem publikáld gyorsan, mert ezek itt még évezredeken keresztül kínlódnak ahelyett, hogy elmennének kocsmába és innának egy fröccsöt, hiszen tök felesleges a megoldásokat keresni, ha egyszer mindenki ki tudja találni magának. :D

2016.07.09. 10:56:51

@Tisztességes Természettudomány: mindamellett a tudás és a jövedelem korrelációja magas.

2016.07.09. 11:06:18

@$pi$: már newton-leibnitz túl bonyolult a nem emelt szintű gimiseknek, szóval gondoljuk át még1x. Az érettségiig nem sok olyan fér a tananyagba, amit megtanulni kell és nem megérteni.

$pi$ 2016.07.09. 11:13:34

@Luke SW: "Az érettségiig nem sok olyan fér a tananyagba, amit megtanulni kell és nem megérteni."

Hát ennek nem sok értelme van, köze meg ahhoz, mit én írtam semmi. Mi a fene az, hogy "megtanulni kell és nem megérteni"?

2016.07.09. 14:44:21

@$pi$: "A matematika kutatásának több ezer évéről jelentetted ki, hogy felesleges volt, hiszen csak annyit kellett volna mondani az elején, hogy mindenki találja ki a képletet amikor szüksége van rá."
Erre szántam válasznak. Amit egyetem előtt matematikából oktatnak, jórészt az ókor óta ismert (igaz, nem a mai módon formalizálva). És, noha kétségtelen, hogy az iskola tanítja meg, mi a hatvány meg a logaritmus, de (matekból) olyan _képlet_ alig akadt 12 év alatt, amit meg kellett volna tanulni. Valószínűleg a matematikából gyenge diákok jelentős része épp azért gyenge, mert képleteket magol ahelyett, hogy a meglévő készségeire támaszkodva több módon is megpróbálna eljutni a megoldásig, majd annak helyességét szintén több módon ellenőrizni.

keletita 2016.07.09. 15:14:03

@$pi$: Luke SW nagyon szépen elmagyarázta, miért nem kell berosálnod.

De azért hadd válaszoljak én is. Termeszétesen nem a több ezer éves matemaikai kutatás értelmét vonom kétségbe. Már csak azért sem, mert magam is aktívan kutató matematikus vagyok. Ezért azt is tudom, hogy a matematikában a kutatás elsősorban nem képletek, hanem ötletek, gondolatok, módszerek kereséséről szól.

Talán szerencsétlenül fogalmaztam: a legkevésbé sem azt gondolom, hogy nem érdemes matematikával foglalkozni, hanem azt, hogy gondolkodásmódokat érdemes elsajátítani, nem képleteket. Ez érdekesebb is, hasznosabb is. És csak az fogja kitalálni a képleteket, aki tudja, hogy a képletek mögött gondolatok vannak, érti ezeket a gondolatokat, és hajlandó ily módon használni az eszét. Erre pedig nem biztos, hogy a fröccs ivás tanít meg a legjobban. Jó matem tanítás viszont igen.

$pi$ 2016.07.09. 18:59:19

@keletita: "Ezért azt is tudom, hogy a matematikában a kutatás elsősorban nem képletek, hanem ötletek, gondolatok, módszerek kereséséről szól."

A képletek egy adott nyelven megfogalmazott "ötletek", "gondolatok", "módszerek". Ha tényleg értesz a matematikához, akkor érted azt is, hogy a "képletek" és "módszerek" között különbséget tenni mennyire gáz.

Valóban vannak olyan módszerek, amiket nem lehet zárt matematikai formulában kifejezni mégis részét képezik a matematikának, de azt állítani, hogy ezek a módszerek megismerésre érdemesek míg a formulaként kifejezhető ötletek nem azok, nos, értelmetlen, hogy finoman fogalmazzunk.

Amúgy azok, akik a "képletek megtanulásáról" vs. "gondolkodásmód elsajátításáról" beszélnek csak divatos közhelyeket mondanak és valószínűleg nem értenek egyetlen bonyolult dologhoz sem komolyan (szerintem). Furcsa, hogy egy "kutató matematikus" ilyen felületesen és laikus módon fogalmaz ebben a kérdésben.

$pi$ 2016.07.09. 19:08:00

@Luke SW: "mert képleteket magol ahelyett"

Ez a "magol" kontra "megért" álokoskodás a tanulatlan, semmihez nem értő emberek sajátja. Az iskola soha nem követelte meg, hogy a tanulók "magoljanak", a magolás nem más, mint egy csalási módszer, amivel a tanulók próbálkoznak. Utána persze sírós hangon panaszkodnak, hogy tőle magolást vártak el és ezért nem is érti a témát. Olyan, mintha azt mondaná, hogy "puskázást vártak el tőlem és ezért nem értem az anyagot".

A matematikában például így néz ki a dolog:

(1) Oldj meg feladatokat, itt a feladattár és a magyarázatok, kérdezz, ha nem érted, de ha sokat dolgozol, akkor tudni fogod, hogy hogyan kell ezeket megoldani. Emlékezni fogsz a módszerekre, érteni fogod mikor melyiket és hogyan kell használni.

(2) Lusta vagyok, három hónap felkészülés helyett 6 órát akarok csak tanulni. Megpróbálok ismételgetéssel megjegyezni egy tucat módszert amivel az ellenőrző feladatok egy részét meg tudom oldani.

(3) Itt vannak a feladatok, párat megoldottál mint egy betanított majom, nem tudlak megbuktatni, mert sajnos ilyen világban élünk.

(4) Álljon meg a menet, hat órán át ismételgettem a fél éves tananyag egy ezrelékét és nem értem az egészet. Nyilván sz@r az oktatási rendszer.

Hát sajnos ez van!

keletita 2016.07.09. 22:12:06

@$pi$: Egyre kevésbé értelek. Legkevésbé azt, hogy milyen alapon minősíted az embereket a véleményük szerint, és miért vagy ilyen biztos mindenben.

Azt sem, hogy Luke SW-nek írt válaszban miért minősíted először álokoskodásnak a "magol" kontra "megért" dillemmát, majd magyarázod el te magad is, hogy az a helyes, ha a diák érteni próbálja a dolgokat, és milyen sajnálatos, amikor nem ezt csinálják. Hol van itt akkor a valódi véleménykülönbség?

Azt végképp nem értem, hogy miért gáz különbséget tenni képlet és módszer között. Most nem hülyének akarom tettetni magam, de már az sem egyértelmű számomra, hogy amikor azt állítod, hogy egy képlet egy "ötlet, gondolat, módszer", akkor a képlet kihozására vagy alkalmazására gondolsz-e, vagy tényleg magára a képletre. Például abban, hogy "Sn=1/2n(2a+(n-1)d) " (a cikkből idéztem) én nem látok gondolatot. Ha azt is tudjuk, hogy itt melyik betű mit jelent, és mikor igaz ez a képlet, akkor ez már egy összefüggés, amelynek a tudása persze nagyon hasznos, de még ezt sem hívom gondolatnak vagy ötletnek. Ha eszembe jut használni, az már gondolat, és abban a tudás pártiaknak igaza van, hogy ha nem ismerem az összefüggést, akkor vajmi kevés esélyem van alkalmazni. Azért én az igazi gondolatnak a képlet előállítását tartom, és azt tartom szerencsésnek, ha valaki inkább annak ötletét sajátítja el, és nem magát az összefüggést, pláne nem a puszta képletet.

$pi$ 2016.07.10. 03:11:09

@keletita: "Egyre kevésbé értelek."

Igazából nem értesz velem egyet, de ahelyett, hogy ezt mondanád inkább úgy fejezed ki magad, hogy mennyire nem értesz. Ez csupán modorosság.

"dillemmát, majd magyarázod el te magad is,"

Megpróbáltam elmondani, hogy miért nem dilemma, hogy miért álokoskodás a megért/magol hamis ellentét. Nem tudom jobban elmondani.

"Sn=1/2n(2a+(n-1)d) " (a cikkből idéztem) én nem látok gondolatot. "

Ha valaki leír valamit magyarul, akkor azt mondjuk, hogy "papírra vetette gondolatait" esetleg "közölte gondolatait". Ha nem magyarul, hanem más nyelven teszi, mondjuk angolul, akkor ugyanezt mondjuk. A matematikai formulák ugyanígy egy nyelv mondatai, ugyanígy alkalmasak bizonyos fajta gondolatok kifejezésére. Teljesen melékes, hogy vannak akik az adott nyelvet nem beszélik és ezért nem értik a mondatot.

"mikor azt állítod, hogy egy képlet egy "ötlet, gondolat, módszer", akkor a képlet kihozására vagy alkalmazására gondolsz-e"

Amikor azt írom, hogy "képlet" akkor a képletre gondolok. Ha a képlet alkalmazására gondolok, akkor azt mondom.

"de még ezt sem hívom gondolatnak vagy ötletnek."

Ha azt mondom, hogy "mindenki egyen egy narancsot", akkor mondhatod, hogy "jó gondolat" vagy "jó ötlet". Ha mindketten értjük a matematika nyelvét és az adott gondolat kifejezhető rajta, akkor kifejezhetem magam egy matematikai formulával. Például mondhatom azt, hogy N <> NP, és erre mondhatod, hogy "jé, tényleg, okos gondolat, hát ezért van".

"a tudás pártiaknak igaza van, hogy ha nem ismerem az összefüggést, akkor vajmi kevés esélyem van alkalmazni"

Igen, ez az "ért" és "magol" tévedés, amiről írtam.

"Azért én az igazi gondolatnak a képlet előállítását tartom"

Amikor felhasználom a nyelvet, hogy kifejezzem a gondolataimat, akkor hogyan mondhatsz ilyet, hogy "ez igazi gondolat ez meg nem igazi gondolat". Ha tévedést, butaságot, használhatatlan dolgot gondolok, attól az még gondolat, ha nem sikerül érthetően leírnom vagy nincs aki megértse, attól az még igazi gondolat.

"miért vagy ilyen biztos mindenben"

Nem vagyok biztos mindenben.